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探究高中数学中方差的计算方法及应用

来源:www.wfmjggc.com 时间:2024-06-11 15:34:42 作者:深思计算网 浏览: [手机版]

  摘要:方差是高中数学中重要的概统计概念之一,它是描述一组数据离散程度的一度量方式www.wfmjggc.com深思计算网。本文将介绍方差的定计算方法及应用,帮助读者深入理解方差的概念。

正文:

探究高中数学中方差的计算方法及应用(1)

一、方差的定

  方差是指一组数据的离散程度,它是各个数据平均值之差的平方和的平均值。方差的式为:

  $$

  S^2=\frac{\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2}{n-1}

  $$

  其中,$x_i$ 表示第 $i$ 个数据,$\overline{x}$ 表示这组数据的平均值,$n$ 表示数据的个数。

探究高中数学中方差的计算方法及应用(2)

二、方差的计算方法

计算方差的方法有两:手算和使用计算器。

  1. 手算

  手算方差的步骤如下:

(1)计算这组数据的平均值。

(2)将每个数据平均值的差值求平方。

  (3)将每个差值的平方加起来。

  (4)将上一步的结果除数据个数减一深.思.计.算.网

  例如,有一组数据:$2,4,6,8,10$,计算它的方差。

(1)计算平均值:$\overline{x}=\frac{2+4+6+8+10}{5}=6$。

  (2)计算每个数据平均值的差值:$(-4),(-2),0,2,4$。

  (3)将每个差值的平方加起来:$16+4+0+4+16=40$。

(4)将上一步的结果除数据个数减一:$S^2=\frac{40}{5-1}=10$。

  因此,这组数据的方差为 $10$。

2. 使用计算器

  使用计算器计算方差的步骤如下:

  (1)将数据输入计算器。

  (2)按下方差键,通常是 $Sx^2$ 或 $Var$欢迎www.wfmjggc.com

  例如,有一组数据:$2,4,6,8,10$,使用计算器计算它的方差。

  (1)将数据输入计算器。

  (2)按下方差键,得到结果为 $10$。

三、方差的应用

  方差在概统计中有广泛的应用,下面介绍个实际应用的例

  1. 评价数据的离散程度

  方差可用来评价一组数据的离散程度。如果方差较小,说明数据比较集中,离散程度较小;如果方差较大,说明数据比较分散,离散程度较大。

  例如,有两组数据:

  (1)$1,2,3,4,5$,它们的方差为 $2.5$。

(2)$1,1,3,5,5$,它们的方差为 $3.2$www.wfmjggc.com

看出,第二组数据的方差比第一组数据的方差大,说明第二组数据的离散程度比第一组数据的离散程度大。

  2. 判断数据是否符合正态分布

  正态分布是一非常重要的概分布,许多自然象和社会象都服从正态分布。方差可用来判断数据是否符合正态分布。

  如果数据符合正态分布,那大约 $68\%$ 的数据会落在平均值的一个标准差范围内,大约 $95\%$ 的数据会落在平均值的两个标准差范围内,大约 $99.7\%$ 的数据会落在平均值的三个标准差范围内。

  例如,有一组数据:$3,5,7,9,11$,它们的平均值为 $7$,方差为 $6$。根据正态分布的规律,大约 $68\%$ 的数据会落在 $7\pm\sqrt{6}$ 的范围内,即 $[4.45,9.55]$。可,这组数据中有 $3$ 个数据落在这个范围内,符合正态分布的规律。

3. 评价数据的可靠性

  在实际应用中,有些数据可能存在误差或偏差,方差可用来评价数据的可靠性深_思_计_算_网

例如,有两个人分别测量同一件物品的长度,得到的数据如下:

  (1)第一个人:$10,11,12,9,10$,平均值为 $10.4$,方差为 $1.7$。

  (2)第二个人:$9,10,10,9,11$,平均值为 $9.8$,方差为 $0.4$。

  可看出,第二个人的数据比第一个人的数据更可靠,因为它们的方差更小。

  结论:

方差是高中数学中重要的概统计概念之一,它可用来评价一组数据的离散程度、判断数据是否符合正态分布、评价数据的可靠性等。计算方差的方法有手算和使用计算器两。通过本文的介绍,相信读者已经掌握了方差的概念、计算方法及应用,可更好地应用到实际问题中。

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